minta contoh soal cerita spltv pake cara gauss Jordan dong
1. minta contoh soal cerita spltv pake cara gauss Jordan dong
Itu jawaban dulu baru saya tuliskan soalnya.
Bisa dilihat dalam foto.
2. SOAL MATEMATIKA Selesaikanlah dengan metode Gauss-Jordan.
Bentuk diatas sama saja dengan :
[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&50&50&30&|65,647\\0&2400&0&0&|1292,8\\0&0&9600&-2400&|5301,1\\0&0&0&2400&|-277,44\end{array}\right)[/tex]
Triknya sih, utamakan yang baris kedua dan keempat supaya elemen barisnya hanya 0 dan 1 saja.
Tahap 1 :
Bagi baris kedua dengan 2.400 dan keempat juga, atau ditulis [tex]\frac{1}{2400}b_2\to\,b_2[/tex] dan [tex]\frac{1}{2400}b_4\to\,b_4[/tex], sehingga diperoleh :
[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&50&50&30&|65,647\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&9600&-2400&|5301,1\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]
Tahap 2 :
Kurangi baris pertama dengan 50 kali baris kedua agar didapat baris pertama yang baru ditulis [tex]b_1-50b_2\to\,b_1[/tex], sehingga :
[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&50&30&|38,712\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&9600&-2400&|5301,1\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]
Tahap 3 :
Kurangi lagi baris pertama dengan 30 kali baris keempat agar didapatkan baris pertama yang baru ditulis [tex]b_1-30b_4\to\,b_1[/tex] dan bagi baris ketiga dengan 2400 ditulis [tex]\frac{1}{2400}b_3[/tex], sehingga :
[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&50&0&|69,115\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&4&-1&|2,2088\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]
Tahap 4 :
Jumlahkan baris ketiga dengan keempat sehingga diperoleh baris ketiga yang baru ditulis [tex]b_3+b_4\to\,b_3[/tex], sehingga :
[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&50&0&|69,115\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&4&0&|2,0932\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]
Tahap 5 :
Sentuhan akhir, bagilah baris ketiga dengan 4 ditulis [tex]\frac{1}{4}b_3[/tex] dan kurangi baris pertama dengan 50 kali ketiga ditulis [tex]b_1-50b_3\to\,b_1[/tex], sehingga :
[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0&|42,95\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&1&0&|0,5233\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]
Semoga membantu.
3. bang tolong bang soal gauss jordan
Untuk menyelesaikan dengan cara eliminasi Gauss Jordan, hendaknya kita reduksi dahulu SPL tersebut ke bentuk matriks.
[tex]\left(\begin{array}{cc}1&-2\\3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_{1}\\{x}_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5\\1\end{array}\right)[/tex]
Bentuk matriks ekselon barisnya
[tex]\left(\begin{array}{cc}1&-2&|5\\3&1&|1\end{array}\right)[/tex]
Karena yang ditanyakan hanya nilai x saja, maka kita cukup mereduksi baris pertama saja.
[tex]\left(\begin{array}{cc}1&-2&|5&{b}_{1}+2{b}_{2}\to{b}_{1}\\3&1&|1\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc}7&0&|7&\frac{1}{7}{b}_{1}\to{b}_{1}\\3&1&|1\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc}1&0&|1\\3&1&|1\end{array}\right)[/tex]
Karena elemen matriks baris pertama berbentuk (1 0), maka didapatlah nilai x = 1.
Semoga membantu.
4. Selesaikan lah metode gauss jordan
Sistem Persamaannya adalah :
[tex]\left\{\begin{matrix}3x+y-z=2\\2x-y+z=3\\x+y+z=3\end{matrix}[/tex]
Sebelum menyelesaikan dengan metode Gauss Jordan, mula - mula kita ubah dulu bentuk sistemnya ke dalam matriks.
[tex]\left(\begin{matrix}3&1&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\\3\end{matrix}\right)[/tex]
Maka, bentuk ekselon barisnya :
[tex]\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\3\\3\end{matrix}\right)[/tex]
Sekarang berikut cara penyelesaiannya.
[tex]\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\3\\3\end{matrix}\right)\begin{matrix}-\\b_2-2b_3\to\,b_2\\-\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\0&-3&-1\\1&1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\-3\\3\end{matrix}\right)\begin{matrix}-\\-\\b_1-3b_3\to\,b_3\end{matrix}\\\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\0&-3&-1\\0&-2&-4\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\-3\\-7\end{matrix}\right)\begin{matrix}b_1-b_2\to\,b_1\\-\\2b_2-3b_3\to\,b_3\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}3&4&0\\0&-3&-1\\0&0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}5\\-3\\15\end{matrix}\right)\begin{matrix}-\\10b_2+b_3\to\,b_2\\\frac{1}{10}b_3\end{matrix}\\\left(\left.\begin{matrix}3&4&0\\0&-30&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}5\\-15\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\begin{matrix}30b_1+4b_2\to\,b_1\\-\frac{1}{30}b_2\\-\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}90&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}90\\\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\begin{matrix}\frac{1}{90}b_1\\-\\-\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)[/tex]
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah [tex]\left\{1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\}[/tex].
Semoga membantu.
5. ada yg bisa nyelesain ini pake metode gauss jordan?
langkah-langkahnya :
- angka pada diagonal harus diubah menjadi 1, sedangkan angka diatas dan dibawah diagonal harus diubah jadi 0, hasil akan mengikuti
6. apakah prinsip eliminasi gauss jordan sama atau tidak dengan matriks invers
tidak,, karena inverst itu bukan eliminasi, invers itu pembalikan,
[tex] {a}^{ - 1} [/tex]
7. 3x-y=1 x-2y=-8 gauss jordan
Jawab:
Penjelasan dengan langkah-langkah:
8. selesaikan persamaan SPL berikut menggunakan operasi Gauss Jordan
SPL :
x + y + z = 6
2x - y + z = 3
3x + y - z = 2
Matriks ter-augmentasi :
[tex][\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&-1&1\\3&1&-1\end{array}||\begin{array}{ccc}6\\3\\2\end{array}][/tex]
OperasiBarisElementer:
[tex]^{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:-\:2\text{B}_1}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:-\:3\text{B}_1}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-3&-1\\0&-2&-4\end{array}||\begin{array}{ccc}6\\-9\\-16\end{array}][/tex]
[tex]\text{B}_2\:=\:-\frac{1}{3}\text{B}_2\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&\frac{1}{3}\\0&-2&-4\end{array}||\begin{array}{ccc}6\\3\\-16\end{array}][/tex]
[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:-\:\text{B}_2}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:+\:2\text{B}_2}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&\frac{2}{3}\\0&1&\frac{1}{3}\\0&0&-\frac{10}{3}\end{array}||\begin{array}{ccc}3\\3\\-10\end{array}][/tex]
[tex]\text{B}_3\:=\:-\frac{3}{10}\text{B}_3\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&\frac{2}{3}\\0&1&\frac{1}{3}\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}3\\3\\3\end{array}][/tex]
[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:-\:\frac{2}{3}\text{B}_3}_{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:-\:\frac{1}{3}\text{B}_3}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}\bold{1}\\\bold{2}\\\bold{3}\end{array}][/tex]
Jadi,x=1;y=2;z=3
9. selesaikan persamaan SPL berikut menggunakan eliminasi Gauss Jordan
SPL :
x + y + 2z = 3
–x - 2y + 3z = –18
3x + 7y + 4z = 33
Matriks ter-augmentasi :
[tex][\begin{array}{ccc}1&1&2\\-1&-2&3\\3&7&4\end{array}||\begin{array}{ccc}3\\-18\\33\end{array}][/tex]
OperasiBarisElementer:
[tex]^{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:+\:\text{B}_1}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:-\:3\text{B}_1}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&-1&5\\0&4&-2\end{array}||\begin{array}{ccc}3\\-15\\24\end{array}][/tex]
[tex]\text{B}_2\:=\:-\text{B}_2\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&-5\\0&4&-2\end{array}||\begin{array}{ccc}3\\15\\24\end{array}][/tex]
[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:-\:\text{B}_2}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:-\:4\text{B}_2}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&7\\0&1&-5\\0&0&18\end{array}||\begin{array}{ccc}-12\\15\\-36\end{array}][/tex]
[tex]\text{B}_3\:=\:\frac{1}{18}\text{B}_3\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&7\\0&1&-5\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}-12\\15\\-2\end{array}][/tex]
[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:-\:7\text{B}_3}_{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:+\:5\text{B}_3}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}\bold{2}\\\bold{5}\\\bold{-2}\end{array}][/tex]
Jadi,x=2;y=5;z=–2
10. help no. 4 aja pakek eliminasi gauss- Jordan
Jawaban:
x = -3
y = -1
z = 2
Penjelasan dengan langkah-langkah:
x + 3y - 3z = -12
y + z = 1
Buat pers baru yg lbh mudahx + 3y -3z = -12 lX1l
y + z = 1 lX3l
x + 3y - 3z = -12
3y + 3z = 3
------------------------ +
x + 6y = -9 (pers 1 baru)
x + 3y - 3z = -12 lX2l
x + 6y = -9 lX1l
2x + 6y - 6z = -24
x + 6y = -9
----------------------- -
x -6z = -15 (pers 2 baru)
x + 3y - 3z = -12
x -6z = -15
--------------------------- -
3y +3z = 3 (pers 3 baru)
Lalu mulai seperti SPLTV biasa(1) x + 6y = 9
(2) x - 6z = 27
(3) 3y + 3z = 3
x + 6y = 9
x - 6z = 27
---------------------- -
6y - 6z = -18
masukkan pers 36y - 6z = -18
3y + 3z = 3
6y - 6z = -18
6y + 6z = 6
------------------ -
-12z = -24
z = 2
y + z = 1
y + 2 = 1
y = 1 - 2
y = -1
x + 3y - 3z = -12
x + 3 . -1 - 3 . 2 = -12
x -3 - 6 = -12
x -9 = -12
x = -12 + 9
x = -3
Buktikanx + 3y - 3z = -12
-3 + 3 . -1 - 3 . 2 = -12
-3 -3 - 6 = -12
-12 = -12
y + z = 1
-1 + 2 = 1
1 = 1
Kalau salah dikomen soalnya susah bgt... jgn direport dulu :')
*Penyelesaian di lampiran
Cek solusi:
[tex] \displaystyle \begin{array}{lclclcl} x&+&3y&-&3z&=&-12 \\ 6n-15&+&3(1-n)&-&3n&=&-12 \\ 6n-15&+&3-3n&-&3n&=&-12 \\ {}&{}&{}&{}&-12&=&-12\end{array} \quad \blacksquare [/tex]
[tex] \displaystyle \begin{array}{lclcl} y&+&z&=&1 \\ 1-n&+&n&=&1 \\ {}&{}&1&=&1 \end{array} \quad \blacksquare[/tex]
Jawaban:x=6n-15
y=1-n
z=n
11. Tolong selesaikan dengan SPL eleminasi gauss jordan .
Langsung Ditulis Disini aja ya kak
12. selesaikan persamaan SPL berikut menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan
Jawaban:
semoga membantu....maaf kalau ada yang salah
SPL :
x + 4y - 7z = –29
–2x + 4y - 5z = –30
–x + 4y + 8z = 25
Matriks ter-augmentasi :
[tex][\begin{array}{ccc}1&4&-7\\-2&4&-5\\-1&4&8\end{array}||\begin{array}{ccc}-29\\-30\\25\end{array}][/tex]
OperasiBarisElementer:
[tex]^{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:+\:2\text{B}_1}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:+\:\text{B}_1}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&4&-7\\0&12&-19\\0&8&1\end{array}||\begin{array}{ccc}-29\\-88\\-4\end{array}][/tex]
[tex]\text{B}_2\:=\:\frac{1}{12}\text{B}_2\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&4&-7\\0&1&-\frac{19}{12}\\0&8&1\end{array}||\begin{array}{ccc}-29\\-\frac{88}{12}\\-4\end{array}][/tex]
[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:-\:4\text{B}_2}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:-8\:\text{B}_2}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&-\frac{19}{12}\\0&0&\frac{41}{3}\end{array}||\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}\\-\frac{88}{12}\\\frac{164}{3}\end{array}][/tex]
[tex]\text{B}_3\:=\:\frac{3}{41}\text{B}_3\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&-\frac{19}{12}\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}\\-\frac{88}{12}\\4\end{array}][/tex]
[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:+\:\frac{2}{3}\text{B}_3}_{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:+\:\frac{19}{12}\text{B}_3}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}\bold{3}\\\bold{-1}\\\bold{4}\end{array}][/tex]
Jadi,x=3;y=–1;z=4
13. Cari gauss Jordan X-2y=8 3x+2y=-8
Jawaban:
itu cara nya
Penjelasan dengan langkah-langkah:
semoga membantu
14. apakah metode eliminasi gauss jordan dapat gagal/tidak dapat di selesaikan? Jika iya, dalam kondisi seperti apa?
ya
bila nilai determinannya nol
15. Apa perbedaan eliminasi gauss dan gauss jordan? Buktikan dengan soal sebagai berikut x+y+z = 5 2x+3y+5z = 8 4x + 5z = 2
Penjelasan mengenai Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan dapat disimak di pembahasan berikut
.
PEMBAHASANEliminasi Gauss adalah suatu penyelesaian dengan menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel yang bebas.
.
Sistem persamaannya
[tex]\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\0&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&...&a_{3n}\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&a_{nn}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}x_1\\x_2\\x_3\\...\\x_n\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccc}b_1\\b_2\\b_3\\...\\b_n\end{array}\right]\\[/tex]
.
Ciri eliminasi Gauss
Baris kolom pertama (a11) tidak nol dimana nilainya 1Baris yang semua elemennya nol dikelompokkan di baris akhir dari matriks.Jika nilai baris kolom 1 dan nilai sebelah kanannya nol semua, dan dibawah baris ke-1 ,0 dimana sebelah kanannya 1 dan sebelah kananya juga nol, dan berlaku untuk baris seterusnya disebut Eselon-baris tereduksi.
Tahapan eleminasi gauss
Mengubah persamaan menjadi matriks augmentasiEliminasi langsung,yaitu menyederhanakannya ke bentuk eselon baris. Substitusi balik,yaitu substitusi penyelesain persamaan biasa, dimana hasil penyederhanaan persamaan dari sistem persamaan eliminasi langsung.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi caranya dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi gauss sehingga menghasilkan matriks yg Eselon-baris.
.
Sistem persamaannya
[tex]\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&0&0&...&0\\0&a_{22}&0&...&0\\0&0&a_{33}&...&0\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&a_{nn}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}x_1\\x_2\\x_3\\...\\x_n\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccc}b_1\\b_2\\b_3\\...\\b_n\end{array}\right][/tex]
.
Ciri eliminasi gauss jordan
Bentuknya eselon baris tereduksiTahapan eleminasi gauss-jordan
Mengubah persamaan menjadi matriks augmentasiMelakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks.
DIKETAHUISistem Persamaan Tiga Variabel
x+y+z = 5
2x+3y+5z = 8
4x + 5z = 2
.
DITANYAApa perbedaan eliminasi gauss dan gauss jordan dan Buktikan dengan SPLTV tersebut !
.
PENYELESAIANDari penjabaran diatas dapat disimpulkan terdapat perbedaan yang mendasar dimana metode penyelesaian persamaan dengan eliminasi Gauss mempunyai bentuk eselon baris dan eliminasi Gauss-Jordan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi dan dari dua penyelesaian itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama.
.
Eliminasi Gauss
Ubah persamaan kedalam matriks augmentasi
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\2\\-2\end{array}\right][/tex]
.
Ubah menjadi eselon baris
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\2\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\-2B_1+B_2\\-4B_1+B_3\end{array}\right[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&-4&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-18\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\\\4B_2+B_3\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&13\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-26\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\\\\frac{1}{13}B_3\\\end{array}[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]
.
Didapat persamaan baru
x+y+z=5
y+3z = -2
z = -2
.
Didapat nilai z =0, kemudian lakukan subsitusi balik
y+3z=-2 ⇒ y+3(-2)=-2 ⇒ y=4
x+y+z=5 ⇒ x+4+-2=1 ⇒x=3
.
Maka himpunan penyelesaiannya
x=3, y=4, z=-2 ⇒ (x,y,z)=(3,4,-2)
.
Eliminasi Gauss-Jordan
Ubah persamaan kedalam matriks augmentasi
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\8\\2\end{array}\right][/tex]
.
Buat Matriks menjadi matriks eselon baris tereduksi
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\8\\2\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\-2B_1+B_2\\-4B_1+B_3\end{array}\right[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&-4&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-18\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}-B_2+B_1\\\\4B_2+B_3\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&13\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}7\\-2\\-26\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\\\\frac{1}{13}B_3\\\end{array}[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}7\\-2\\-2\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}2B_3+B_1\\-3B_3+B_2\\\\\end{array}[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}3\\4\\-2\end{array}\right][/tex]
.
Didapat himpunan penyelesaiannya
x=3, y=4, z=-2 ⇒ (x,y,z)=(3,4,-2)
.
PELAJARI LEBIH LANJUTEliminasi Gauss-Jordan : brainly.co.id/tugas/30176806
.
DETAIL JAWABANKelas: xxx
Mapel: Matematika
Bab: Sistem Persamaan Linear
Kode: xxx
Kata Kunci: Eliminasi Gauss, dio.Eliminasi_Gauss
.
#Learningwithdiorama
#TingkatkanPrestasimu
Metode eliminasi Gauss dan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah beberapa cara untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linier. Metode Gauss-Jordan adalah pengembangan lebih lanjut dari metode eliminasi Gauss yang terlebih dahulu ada.
Karena metode eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan lebih lanjut dari metode elimimasi Gauss, maka jelas banyak kesamaan pada kedua metode tersebut. Idenya adalah dengan melakukan rekayasa aljabar pada sebuah matriks yang ter-augmentasi dari suatu sistem persamaan linier.
Perbedaanmendasardarikeduametodetersebutadalahpadapenyelesaianakhirnya.Jika pada metode eliminasi Gauss, hasil akhirnya adalah sebuah matrikssegitigaatas(dengan diagonal utama = “1”), dan pada metode eliminasi Gauss-Jordan, hasil akhirnya adalah sebuah matriksidentitas.
PembahasanContoh:
x + y + z = 5
2x + 3y + 5z = 8
4x + 5z = 2
Penyajian SPL pada sebuah matriks ter-augmentasi adalah :
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\8\\2\end{array}\right]
[/tex]
Operasi baris elementer pada metode eliminasi Gauss :
[tex]^{B_2\:=\:B_2\:-\:2B_1}_{B_3\:=\:B_3\:-\:4B_1}\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&-4&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-18\end{array}\right][/tex]
[tex]B_3\:=\:B_3\:+\:4B_2\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&13\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-26\end{array}\right][/tex]
[tex]B_3\:=\:\frac{1}{13}B_3\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]
Pada metode eliminasi Gauss, operasi baris elementer berhenti sampai di sini. Kenapa ? Karena sudah menghasilkan matriks segitiga atas.
Penyelesaian selanjutnya ?? Yaitu dengan melanjutkannya menggunakan metode substitusi biasa.
Dari matriks tersebut didapatkan :
z=–2
y + 3z = –2
y + 3.(–2) = –2
y - 6 = –2
y = –2 + 6
y=4
x + y + z = 5
x + 4 + (–2) = 5
x + 2 = 5
x = 5 - 2
x=3
OperasibariselementerpadametodeeliminasiGauss-Jordan:
« melanjutkan dari matriks sebelumnya pada metode eliminasi Gauss »
[tex]B_1\:=\:B_1\:-\:B_2\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}7\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]
[tex]^{B_1\:=\:B_1\:+\:2B_3}_{B_2\:=\:B_2\:-3B_3}\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}3\\4\\-2\end{array}\right][/tex]
Diperoleh hasil :
x=3;y=4;z=–2
16. Selesaikan masing masing SPLTV dibawah ini dengan metode eliminasi gauss-jordan
Yang mana Soal Yang Harus Di Eliminas??
17. Soal SPLTV Metode Gauss & Gauss-Jordan Tolong bantu jawab dengan caranya yang mudah dimengerti ya..
Master Brainly :Metode Gauss
4x + 3z = - 1
y - 2x = 0
x - 3y = 10
[ 4 0 3 | -1 ]
[ -2 1 0 | 0 ]
[ 1 -3 0 | 10 ]
[ 4 0 3 | -1 ]
[ -2 1 0 | 0 ]
[ 5 0 0 | 10 ]
[ 4 0 3 | -1 ]
[ -2 1 0 | 0 ]
[ 1 0 0 | -2 ]
[ 0 0 3 | 7 ]
[ 0 1 0 | -4 ]
[ 1 0 0 | -2 ]
[ 0 0 1 | 7/3 ]
[ 0 1 0 | -4 ]
[ 1 0 0 | -2 ]
z = 7/3
y = - 4
x = - 2
(x, y, z) = ( -2, -4, 7/3 )18. tentukan penyelesaian system persamaan di foto dengan metode reduksi gauss-jordan
Jawab:
[tex]\displaystyle x_{1}=1\:\:\:\:x_{2} = 2\:\:\:\:x_{3}=3[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Ubah menjadi bentuk matriks :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2&4&-3\\1&1&2\\3&6&-5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\9}\\0\end{array}\right)[/tex]
Dengan reduksi Gauss-Jordan matriks akan berubah berbentuk matriks identitas
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)[/tex]
Setelah diubah ke bentuk matriks kita tambah kolom matriksnya dan berubah menjadi matriks augmentasi
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}2&4&-3&1\\1&1&2&9\\3&6&-5&0\end{array}\right)[/tex]
Sekarang lakukan operasi pada elemen-elemen matriks agar bisa jadi bentuk matriks identitas
1) Tukar baris ke-1 dengan baris ke-3 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\1&1&2&9\\2&4&-3&1\end{array}\right)[/tex]
2) Kurangi baris ke-2 dengan [tex]\displaystyle \frac{1}{3}\times[/tex] baris ke-1 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\1-\displaystyle \frac{1}{3}\times3&1-\displaystyle \frac{1}{3}\times6&2-\displaystyle \frac{1}{3}\times -5&\displaystyle 9-\frac{1}{3}\times0\\2&4&-3&1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-1&\displaystyle \frac{11}{3}&9\\2&4&-3&1\end{array}\right)[/tex]
3) Kalikan baris ke-2 dengan 3 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&11&27\\2&4&-3&1\end{array}\right)[/tex]
4) Kurangi baris ke-3 dengan [tex]\displaystyle \frac{2}{3}\times[/tex] baris ke-1 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&11&27\\0&0&\displaystyle \frac{1}{3}&1\end{array}\right)[/tex]
5) Kalikan baris ke-3 dengan 3 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&11&27\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]
6) Kurangi baris ke-2 dengan [tex]11 \times 3[/tex] menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&0&-6\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]
7) Bagi baris ke-2 dengan -3 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]
8) Kuragi baris ke-1 dengan 6[tex]\times[/tex] baris ke-2 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&0&-5&-12\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]
9) Tambahkan baris ke-1 dengan 5[tex]\times[/tex] baris ke-3 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&0&0&3\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]
10) Bagi baris ke-1 dengan 3 menjadi :
[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]
Didapat jawabannya :
[tex]\displaystyle \left \{ {{\displaystyle x_{1}=1} \atop {\displaystyle x_{2}=2}}\atop {x_{3}=3}\right.[/tex]
19. Apa perbedaan metode gauss dan gauss jordan?
Metode Gauss-Jordan : menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi
(reduced row echelon form)
Eliminasi Gauss : hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon
(row echelon form).
20. selesaikan dengan motedo gauss jordan.
jawaban ada pada gambar
Tidak ada komentar:
Write komentar